Wie sind Mathematik und Physik verheiratet?

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Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen, sind sie nicht sicher, und insofern sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf die Wirklichkeit.
(Albert Einstein)

Die streng monoton abnehmende mathematische Gleichung für den radioaktiven Zerfall lautet: N(t) = N(0)*exp{-λ*t} mit λ als Zerfallskonstante und t als Zeit. Diese Funktion geht mit wachsendem t asymptotisch gegen 0.

Angenommen, es lägen N(0) = 4294967296 (2^32) radioaktive Atome vor. Nach Verlauf von 33 Halbwertszeiten liegt noch 1 Atom vor. Was geschieht nach Ablauf der 33 Halbwertszeiten? Bleibt das letzte Atom stabil, da doch die Gleichung sich erst nach unendlich langer Zeit der Null nähert? Wenn es jedoch zerfällt, dann folgt der Zerfall nicht dem mathematischen Gesetz.

Baum- oder Waldwachstum folgen einer eben solchen stetigen Gleichung, wenn –λ durch λ ersetzt wird. Nun weiß man, dass biologisches Wachstum Folge einer Zellteilung (Mitose) ist; und die erfolgt nur in Intervallen. Ebenso das Wachstum der Pflanzenwelt und Weltbevölkerung, wenn Ruhe und Frieden herrscht.

Diese Beispiele zeigen, dass die Mathematik als Sprache der Natur hier und da an einem Sprachfehler leidet. Sie ist ohne Zweifel die logisch exakteste Sprache, aber entspringt sie der Natur oder dem menschlichen Geist?

Das beschriebene Modell erklärt eine Verringerung des Abstandes zwischen zwei Körpern durch Verkürzung der Gravitonketten mit damit verbundenem Massendefekt. Das erfolgt in Zeitschritten. Die Annäherung als Funktion der Zeit ist ein Graph, der folglich keine stetige Funktion Länge = Geschwindigkeit * Zeit ist. Mikroskopisch bedeutet das eine variable Geschwindigkeit v = ΔL/Δt mit ΔL als Entfernungsänderung und Δt als Zeitintervall. Und diese Überlegung gilt auch für Beschleunigung und aufgewendete Kraft.

In der klassischen Mechanik wird für die Zeit ein stetiger Verlauf angenommen, was bedeutet, dass der Differentialquotient durch einen Grenzwertprozess in dL/dt überführt wird. Das ist genau die Operation, die in der Mathematik als Differentiation einer jeden Funktion durchgeführt wird. Auch gravitatives und elektrisches Potential ergeben nach Gradientenbildung oder Differentiation die Feldstärken der entsprechenden Felder. Doch für Technik und auch experimentelle Experimente ergibt die Verwendung der Differentiale ausreichende Genauigkeit.

Differentiation in der Physik bedeutet also Mittelwertbildung im allerkleinsten Bereich. Und eine solche Mittelwertbildung reicht auch bei menschlichen Empfindungen durch die Sinne allemal aus. Auch die Ausbreitung von Nervensignalen erfolgt digital. Weniger die Impulshöhe, vielmehr die Signalfrequenz meldet die Intensität einer Empfindung.

Dann ist Stetigkeit nicht eine Eigenschaft der Natur, sondern ein Schöpfung der Mathematik. Und Grenzwertprozesse sind deren unmittelbare Folge. Kompakte Zahlenmengen, Dedekindscher Schritt, Hilberts Hotel und Cantors Aleph sind im mathematischen Zusammenhang Höchstleistungen einer logischen Struktur mit großer Strenge und Brillanz, aber doch Menschenwerk. Trotz mathematischer Höchstleistung besteht die zu lösende Frage, ob jene Ergebnisse in allerletzter Konsequenz dann noch irgendeinen "physikalischen Wahrheitswert" aufweisen.

Lebewesen sammeln Erfahrungen für die Gestaltung des Lebens und speichern diese möglichst als Kausalketten im Gehirn ab. Schwieriger wird es, wenn mehrere Ursachen parallel das Verhalten bestimmen: Bei niedriger Außentemperatur sind auch die Luftfeuchtigkeit, die Windstärke und auch die körperliche Kondition nicht ohne Einfluss auf das Empfinden. Unser Verhalten wird dann durch mehrere Variable bestimmt, die meistens als System von Variablen zusätzliche Interdependenzen aufweisen.

Das erinnert an mathematische Gleichungen oder Gleichungssysteme, die häufig nur iterativ oder mit finiten Elementen lösbar sind, insbesondere wenn die Interdependenzen noch nichtlinear gekoppelt sind. Es handelt sich daher eher um Berechnungen von Teilchensystemen.

Mit der Hypothese der Adipole zeigt sich nun, dass die Verfolgung von Einzelteilchen in Feldern kaum noch der Realität entspricht, da nunmehr alle Teilchen mit allen gekoppelt sind. Die Schrödingergleichung wäre mit einer Unzahl von Zusatzpotentialen auszustatten, was deren Lösung immer schwieriger macht. Aber auch in der Mechanik des Drei- und Mehrkörpersystems gestaltet sich eine solche Aufgabe als zunehmend schwieriger.

Erfahrungen werden über die Sinne gewonnen, durch unsere Denkstruktur analysiert, kategorisiert und – wenn möglich – zu mathematischen Gleichungen gebündelt. Wo es keine Erfahrungen gibt, sind Extrapolationen trotz bester Rechenverfahren gefährlich. Selbst die Hooke‘sche Grade als Symbol für eine einfache lineare Belastung-Dehnung-Beziehung gilt dann nicht, wenn man beachtet, dass sich die Distanzen zwischen Atomkernen vergrößern, ihre Potentialmulden geringfügig verlassen, wobei die Potentialwände keineswegs linear ansteigen. Abwegig wäre eine Extrapolation über den Erfahrungsbereich hinaus.

Überraschend ist daher, wie zeitgenössische Theoretiker, insbesondere Kosmologen, mathematische Gleichungen erstellen, diese über jeden Erfahrungsrahmen hinaus extrapolieren, dann ihre Ergebnissen deuten und als Sensation einem staunenden Interessentenkreis als physikalische Ergebnisse vermitteln. Alle Bilder dürften unter die Kategorie der "Russelschen Teekanne" fallen. Zweifler werden verdammt.

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Bernhard Reddemann